এখন বয়স কত?

গণিতের হিসাব-নিকাশ করে বয়স বের করা কঠিন নয়। কিন্তু যদি শর্ত থাকে, তাহলে হয়তো বুদ্ধি খাটানো দরকার হয়ে পড়ে। বয়সের হিসাবে যাওয়ার আগে আসুন কিছু সহজ গণিত বুঝে নিই। ধরা যাক, আপনাকে কেউ জিজ্ঞেস করল ৩ অঙ্কের তিনটি সংখ্যা বের করুন তো, যেগুলো ৭ দিয়ে বিভাজ্য এবং যেগুলো সমান্তর ধারায় (অ্যারিথমেটিক প্রোগ্রেশন) রয়েছে? এর উত্তরের জন্য প্রথমে দেখব তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০-কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকে। যেহেতু ৭ × ১৪ = ৯৮, তাই অবশিষ্ট ২।

সুতরাং এর সঙ্গে আরও ৫ যোগ করলে নিশ্চয়ই সংখ্যাটি ৭ দিয়ে বিভাজ্য হবে। তাই ৭ দিয়ে বিভাজ্য তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো ১০৫। এর পরের সমান্তর ধারার সংখ্যা দুটি হবে ১১২ ও ১১৯। সুতরাং সমান্তর ধারার সংখ্যা তিনটি হলো ১০৫, ১১২ ও ১১৯। লক্ষ করলে দেখব, সংখ্যা তিনটি ৭-এর ১৫, ১৬ ও ১৭ গুণ। একই ধারায় ৭-এর ১৮, ১৯ ও ২০ গুণ সংখ্যাগুলোও একই ধরনের সমান্তর ধারা। ওই সংখ্যাগুলো হলো ১২৬, ১৩৩ ও ১৪০। বোঝা যাচ্ছে, এ রকম আরও সংখ্যাসারি আছে। কিন্তু শেষ কোথায়? কীভাবে বের করব? এ জন্য আমরা তিন অঙ্কের সবচেয়ে বড় সংখ্যা ৯৯৯-কে ৭ দিয়ে ভাগ করি। অবশিষ্ট ৫, ভাগফল ১৪২। অর্থাৎ সিরিজের শেষ সমান্তর ধারার তিনটি সংখ্যা হবে ৯৮০, ৯৮৭ ও ৯৯৪। তার মানে ৭-কে ১৫ থেকে ১৪২ পর্যন্ত সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে আমরা ৭ দিয়ে বিভাজ্য সমান্তর ধারা পাব। এদের তিনটি করে নিয়ে একেকটি গ্রুপ গঠন করলেই সমান্তর ধারার নির্ণেয় সংখ্যাগুলো পাওয়া যাবে। এ রকম আরেকটি ধাঁধা দেখুন। মনে করি ৪৭ক একটি সংখ্যা। এটি যদি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে ক-এর মান কত? এর উত্তর বের করার জন্য আমরা প্রথমে ধরে নিই ক-এর মান ০। তাহলে সংখ্যাটি হবে ৪৭০। একে ৯ দিয়ে ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে ২, ভাগফল ৫২। তাহলে ৪৭০-এর সঙ্গে আরও ৭ যোগ করলে সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ সংখ্যাটি ৪৭৭। তাই ক-এর মান ৭। বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে অন্যভাবেও উত্তরটি বের করতে পারি। আমরা জানি, যেকোনো সংখ্যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে, যদি এর অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হয়। তাই আমরা লিখতে পারি, (৪ + ৭ + ক) = (১১ + ক) = খ, যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য। এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই ক = ৭। তাই সংখ্যাটি ৪৭৭। এর অঙ্কগুলোর যোগফল (৪ + ৭ + ৭) = ১৮, যা ৯ দিয়ে বিভাজ্য। সুতরাং ৪৭৭ সংখ্যাটিও ৯ দিয়ে বিভাজ্য।
নুতন ধাঁধা
রিনির বয়স ৩ বছর। তার ভাইয়ের বয়স রিনির বয়সের তিন গুণ। এখন রিনির বয়স ১৪ হলে তার ভাইয়ের বয়স কত?
এর উত্তর সরাসরি অনলাইনে মন্তব্য আকারে অথবা ই-মেইলে quayum@gmail.com পাঠিয়ে দিন।
গত সপ্তাহের প্রশ্নের উত্তর
প্রশ্নটি ছিল এ রকম: যদি ২০টি পাখি ২০ দিনে ২০টি ডিম দেয়, তাহলে ৪০টি পাখি ৪০ দিনে কয়টি ডিম দেবে?
উত্তর: ৮০টি ডিম দেবে।
প্রায় সবার উত্তর সঠিক ছিল। উত্সাহ নিয়ে সবাই উত্তর দিয়েছেন। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
যেহেতু ২০টি পাখি ২০ দিনে ২০টি ডিম দেয়, তাহলে ১টি পাখি ২০ দিনে ১টি ডিম দেবে। সে ৪০ দিনে দেবে ২টি। একই হারে ডিম দিলে ৪০টি পাখি ৪০ দিনে (৪০ × ২) = ৮০টি ডিম দেবে।